Алгебра. Одночлены.

Буквенные (алгебраические) выражения

Если в числовом выражении некоторые (можно все) входящие в него числа заменить буквами (разные числа – разными буквами), то получится буквенное выражение. Буквенные выражения также называют алгебраическими.

Пример: если в числовом выражении $$ заменить число $$ буквой $$, а число $$ буквой $$, то получится выражение $$. Буквенные выражения могут состоять из одной буквы: $$, $$ , $$, $$.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведение букв и чисел. Эти буквы и числа называют множителями данного одночлена. Примеры: $$, $$, $$. Знаки умножения при записи одночленов не указывают.

Число или одну букву также называют одночленом. Пример: $$, $$, $$, $$, $$, $$ – одночлены. $$ – нулевой одночлен

Произведение $$ одинаковых одночленов, каждый из которых $$, кратко обозначают $$ и называют $$-й степенью числа $$.

Число $$ называют степенью числа $$, число $$ называют основанием степени.

$$($$ раз ) = $$
$$
$$

Запомните

1. $$
2. $$
3. $$
4. $$
5. $$
6. $$
7. $$

Свойства одночленов

Свойство 1: Два одночлена считаются равными, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Например, $$.

Свойство 2: Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого заменой некоторых его числовых множителей их произведением. Например, $$; $$.

Свойство 3: Одночлен равен 0, если среди его множителей есть число $$. Например, $$.

Свойство 4: Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого опусканием множителя $$. Например, $$.

Свойство 5: Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого заменой произведения множителей, каждый из которых есть одна и та же буква, соответствующей степенью этой буквы. Например, $$.

Свойство 6: Если перед одночленом поставить знак плюс, то получится одночлен равный исходному. Например, $$.

Свойство 7: Если перед одночленом поставить знак минус , то получится одночлен, равный исходному, умноженному на число $$. Например, $$.

Одночлен и такой же одночлен, но со знаком минус перед ним называют противоположными одночленами. Например, $$ и $$ – противоположные одночлены.

Свойства 1-7 применяют для упрощения записи одночленов.

Ненулевой одночлен, содержащий буквы, имеет стандартный вид, если он имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи только один раз в виде некоторой ее степени. При этом буквы записаны в алфавитном порядке. Числовой множитель – коэффициент одночлена.

Например, $$ – одночлен в стандартном виде, коэффициент равен $$; $$ - одночлен стандартного вида, коэффициент равен $$; $$ – одночлен стандартного вида, коэффициент. равен $$.

Степень ненулевого одночлена стандартного вида есть сумма показателей степеней всех входящих в него букв. Например, степень одночлена $$ - седьмая.

Любое отличное от нуля число – одночлен нулевой степени.

Число 0 – нулевой одночлен, единственный одночлен степень, которого не определена.

Ненулевые одночлены стандартного вида называют подобными, если они равны или различаются лишь своими коэффициентами. Например, $$ и $$ – подобные одночлены.

Сумма подобных одночленов равна одночлену подобному каждому из них с коэффициентом, равным сумме коэффициентов данных одночленов. Например, $$.

Разность подобных одночленов равна одночлену подобному каждому из них с коэффициентом, равным разности коэффициентов данных одночленов. Например, $$.

Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены входящие в эту сумму называются членами многочлена.

Свойства многочленов

Свойство 1: Члены многочлена можно менять местами, например $$, $$.

Свойство 2: Прибавление к многочлену нуля не изменяет его, например $$.

Свойство 3: В многочлене можно приводить подобные слагаемые, например $$, $$.

Многочлен записан в стандартном виде, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.

Двучлен – многочлен стандартного вида, состоящий из двух членов.

Трехчлен – многочлен стандартного вида, состоящий из трех членов.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого надо каждый его член привести к стандартному виду, а затем привести подобные члены.