Буквенные (алгебраические) выражения
Если в числовом выражении некоторые (можно все) входящие в него числа заменить буквами (разные числа – разными буквами), то получится буквенное выражение. Буквенные выражения также называют алгебраическими.
Пример: если в числовом выражении \(\dfrac{|5-3| + (5-2)}{5-1}\) заменить число \(5\) буквой \(x\), а число \(3\) буквой \(y\), то получится выражение \(\dfrac{|x-y| + (x-2)}{x-1}\). Буквенные выражения могут состоять из одной буквы: \(a\), \(c\) , \(n\), \(x\).
Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведение букв и чисел. Эти буквы и числа называют множителями данного одночлена. Примеры: \(3abc\), \(x(-3)y1\), \(1a(-1)b\). Знаки умножения при записи одночленов не указывают.
Число или одну букву также называют одночленом. Пример: \(a\), \(b\), \(c\), \(1\), \(\dfrac{1}{3}\), \(0\) – одночлены. \(0\) – нулевой одночлен
Произведение \(k\) одинаковых одночленов, каждый из которых \(a\), кратко обозначают \(a^k\) и называют \(k\)-й степенью числа \(a\).
Число \(k\) называют степенью числа \(a\), число \(a\) называют основанием степени.
\(a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a\)(\(k\) раз ) = \(a^k\)
\(a \cdot a \cdot a = a^3\)
\(a \cdot a \cdot a \cdot a = a^4\)
Запомните
- \(a^1 = a\)
- \(a^0 = 1\)
- \(a^{−m} = \dfrac{1}{a^m}\)
- \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m−n}\)
- \((ab)^n = a^n \cdot b^n\)
- \(\dfrac{a^m}{b^m} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^m\)
- \((a^m)^n = a^{mn}\)
Свойства одночленов
Свойство 1: Два одночлена считаются равными, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Например, \(a3bc = 3cba\).
Свойство 2: Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого заменой некоторых его числовых множителей их произведением. Например, \(7a(-3)b = -21ab\); \(с2b4*3*1a = 24abc\).
Свойство 3: Одночлен равен 0, если среди его множителей есть число \(0\). Например, \(a(-1)b0 = 0\).
Свойство 4: Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого опусканием множителя \(1\). Например, \(a*1*bc = abc\).
Свойство 5: Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого заменой произведения множителей, каждый из которых есть одна и та же буква, соответствующей степенью этой буквы. Например, \(5a^2b^2ab^3=5a^3b^5\).
Свойство 6: Если перед одночленом поставить знак плюс, то получится одночлен равный исходному. Например, \(+abc = abc\).
Свойство 7: Если перед одночленом поставить знак минус , то получится одночлен, равный исходному, умноженному на число \((-1)\). Например, \(-abc = (-1)abc\).
Одночлен и такой же одночлен, но со знаком минус перед ним называют противоположными одночленами. Например, \(3a2bc\) и \(-3a2bc\) – противоположные одночлены.
Свойства 1-7 применяют для упрощения записи одночленов.
Ненулевой одночлен, содержащий буквы, имеет стандартный вид, если он имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи только один раз в виде некоторой ее степени. При этом буквы записаны в алфавитном порядке. Числовой множитель – коэффициент одночлена.
Например, \((-12)ab^2c\) – одночлен в стандартном виде, коэффициент равен \((-12)\); \((-)abc\) - одночлен стандартного вида, коэффициент равен \((-1)\); \(klmn^2\) – одночлен стандартного вида, коэффициент. равен \(1\).
Степень ненулевого одночлена стандартного вида есть сумма показателей степеней всех входящих в него букв. Например, степень одночлена \(3a^2bc^4\) - седьмая.
Любое отличное от нуля число – одночлен нулевой степени.
Число 0 – нулевой одночлен, единственный одночлен степень, которого не определена.
Ненулевые одночлены стандартного вида называют подобными, если они равны или различаются лишь своими коэффициентами. Например, \(3a^3bd\) и \(a^33bd\) – подобные одночлены.
Сумма подобных одночленов равна одночлену подобному каждому из них с коэффициентом, равным сумме коэффициентов данных одночленов. Например, \(7a^2c^4 + 5a^2c^4 = 12a^2c^4\).
Разность подобных одночленов равна одночлену подобному каждому из них с коэффициентом, равным разности коэффициентов данных одночленов. Например, \(7a^2c^4 - a^2c^4 = 6a^2c^4\).
Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены входящие в эту сумму называются членами многочлена.
Свойства многочленов
Свойство 1: Члены многочлена можно менять местами, например \(3a^2b^2 + 5d^2k = 5d^2k + 3a^2b^2\), \(-x + x^2 +1 = x^2 – x+1\).
Свойство 2: Прибавление к многочлену нуля не изменяет его, например \(3a^2b^2 + 5d^2k + 0 = 3a^2b^2 + 5d^2k\).
Свойство 3: В многочлене можно приводить подобные слагаемые, например \(a^2 + ab – ab + b^2 = a^2 + b^2\), \(a^3 – 2a^2b + 2ab^2 - a^2b + ab^2 – b^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\).
Многочлен записан в стандартном виде, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.
Двучлен – многочлен стандартного вида, состоящий из двух членов.
Трехчлен – многочлен стандартного вида, состоящий из трех членов.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого надо каждый его член привести к стандартному виду, а затем привести подобные члены.
