Прямоугольные треугольники.

Определение. Прямоугольный треугольник - это треугольник с углом, равным \(90^\circ\). Сторона, лежащая напротив прямого угла называется гипотенузой. Две другие - катеты.

Теорема 1. Катет, лежащий напротив угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.

Теорема 2. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Теорема 3.(Теорема Пифагора) Квадрат гипотенузы равен сумму квадратов катетов. \(a^2 + b^2 = c^2\)

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Основные формулы

\(\sin^2\alpha +cos^2\alpha = 1\)

Основное тригонометрическое тождество

\(\text{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

\(\text{ctg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)

\(\text{ctg}\alpha\cdot \text{tg}\alpha = 1\)

Теорема 4. Высота прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу

Теорема 5. Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции данного катета на гипотенузу

Теорема 6. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов

Опорные задачи.

1. В треугольнике медиана равна половине стороны к которой она проведена. Доказать, что данный треугольник прямоугольный, а сторона, на которую опущена медиана - гипотенуза.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, а один из острых углов - \(15 ^\circ\). Найдите высоту прямоугольного треугольника.

3. Основания трапеции равны \(a\) и \(b\). Найдите отрезок, соединяющий середины оснований, если а) диагонали трапеции взаимно перпендикулярны; б) боковые стороны трапеции взаимно-перпендикулярны

4. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований, если а) диагонали трапеции взаимно перпендикулярны; б) боковые стороны трапеции взаимно-перпендикулярны

5. Доказать:

1. \(\cos(90^\circ-\alpha) = \sin\alpha\)

2. \(\sin(90^\circ-\alpha) = \cos\alpha\)

3. \(\text{tg}(90^\circ-\alpha) = \text{ctg}\alpha\)

4. \(\text{ctg}(90^\circ-\alpha) = \text{tg}\alpha\)

4. Найти высоту прямоугольного треугольника, если катеты равны \(a\) и \(b\)