Трапеция

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные - боковыми.

Свойства трапеции.

1. Сумма углов, прилежащих к боковым сторонам равна \(180^\circ\).
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.
3. Угол между биссектрисами углов, прилежащих к боковым сторонам равен \(90^\circ\).

Высота трапеции - это перпендикуляр, опущенный из вершины трапеции на основании или его продолжение.

Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции.

1. В равнобедренной трапеции диагонали равны.
2. В равнобедренной трапеции диагонали образуют со сторонами равные углы.

Опорная задача. (Свойство равнобедренной трапеции).
Доказать, что в равнобедренной трапеции проекция диагонали на основание равна полусумме оснований, а проекция боковой стороны на основание равна полуразности оснований.

Прямоугольная трапеция - это трапеция, у которой боковая сторона образует прямой угол с основаниями.

Свойство прямоугольной трапеции.
В прямоугольной трапеции боковая сторона равна высоте.

Опорные задачи.

1. Боковые стороны трапеции равна 10 и 11, а основания 12 и 6. Найти высоту.
2. Одна из боковых сторон трапеции равна 10, большее основание 12. Найти высоту трапеции.

Теорема.
Точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

Центр окружности вписанной в трапеции лежит на пересечении биссектрис углов трапеции

Опорные задачи

1. Доказать, что трапеция вписана окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.
2. Доказать, что высота трапеции описанной около окружности равна диаметру данной окружности.

\(S=\dfrac{a+b}{2} \cdot h\)
\(S=\dfrac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\widehat{d_1d}\)
\(S=r \cdot p\), \(r\) - радиус вписанной окружности, \(p=\dfrac{a+b+c+d}{2}\)

Опорные задачи

1. Доказать, что площадь трапеции равна площади треугольника две стороны, которого равны диагоналям данной трапеции, а третья - сумме оснований трапеции.
2. Доказать, .

Стандартные дополнительные построения

1. Проведение высот.
2. Продолжение боковых сторон до их пересечения
3. Построение прямых, параллельных боковым сторонам трапеции
4. Построение прямых параллельных диагоналям трапеции