Окружности.

Касательная - прямая, имеющая одну общую точку с окружностью.
Секущая - прямая, имеющая две общие точки с окружностью.
Хорда - отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

● Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания.
● Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
● Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

(\(AB = AC\), \(AB^2 = AD\cdot AL\))

● Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.
● Равные хорды отсекают равные дуги.

● Диаметр окружности перпендикулярный хорде делит ее пополам.
● Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен данной хорде.

● Хорды, равноудаленные от центра, равны.
● Если хорды равны, то они равноудалены от центра.

Угол с вершиной в центре окружности - это центральный угол.
Центральный угол равен градусной мере дуги окружности, на которою он опирается.

Угол с вершиной на окружности – это вписанный угол.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\).

Признак вписанного четырехугольника.

Выпуклый четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна \(180^\circ\)

Любой треугольник можно описать около окружности.

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен \(\dfrac{a+b-c}{2}\), где \(a\) и \(b\) - это катеты, \(c\) - гипотенуза.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении срединных перпендикуляров.

Радиус окружности, описанной около треугольника, равен:

1. произведению длин всех сторон, поделённому на 4 площади треугольника: \(\dfrac{abc}{4S}\);
2. отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла: \(\dfrac{a}{2\sin\alpha} = \dfrac{b}{2\sin\beta} = \dfrac{c}{2\sin\gamma}\).

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.

Выпуклый четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов равна \(180^\circ\)

Теорема Птолемея.

Произведение длин диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений длин противоположных сторон.

(\(AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD\))

Выпуклый четырехугольник описан около окружности тогда и только тогда, когда суммы противолежащих сторон равны.